一、为什么计算机使用二进制？
其实也可以使用十进制，但是使用二进制的计算机更容易制造。就像铜比铝导电性好，但是电子产品还是大量使用铝，因为铜储量少更贵。
二、那为什么使用二进制的计算机更容易制造呢？
因为二进制只有1和0，正好对应真值和假值，10和真假可以相互转化，所以二进制的算术运算就能转化成逻辑运算，而逻辑运算的电路比算术运算的电路更容易设计和制造，因为真值和假值正好对应电子器件的两种状态，比如电路的导通和断开、晶体管的导通和断开、磁原件的正负剩磁、电位的高低等。记住一个原则，状态越少，容错率越高，越容易设计和制造。
三、如何制作逻辑运算电路？
（一）使用什么东西制作逻辑运算电路？
我们使用晶体管制作逻辑运算电路。
1948年贝尔实验室的肖克利等人发明了晶体管。
晶体管泛指半导体电子元件。晶体管有很多种类型，包括二极管、三极管、场效应管，每种类型又分为NPN型和PNP型。
晶体管就是个开关，它可以打开和关闭电流。
晶体管电路有导通和断开两种状态，这两种状态就可以作为二进制的基础。
下面我们讲解一下PNP型晶体管，当b处电压>e处电压时，晶体管中c极和e极断开；当b处电压 PNP型晶体管，高电平断开，低电平导通。假如此时，我们把高电平作为“1”，低电平作为“0”。那么b极输入1，就会导致电路断开，如果这个电路是控制计算机开关机的，那么就会把计算机关闭。这就是机器语言的原理。 NPN型晶体管与PNP型晶体管正好相反，高电平导通，低电平断开。 （二）如何用晶体管搭建逻辑运算电路？ 基本逻辑运算包括非、与、或、异或、与非、或非、异或非（同或）。 其他更复杂的逻辑运算都是由这些基本逻辑运算组成的。 这些基本逻辑运算对应的电路叫做门电路，都是最基本的逻辑电路，由若干晶体管组成。 之所以叫“门”，是因为它就像一个转换门，把进入的信号转换成输出的信号。 下面只讲解非门、与门、或门。 1、非门（not） 非门电路用来实现非逻辑运算。 非门电路又叫“否”运算，也称求“反”运算，因此非门电路又称为反相器。 AY0110下面是使用一个NPN型晶体管组成的非门电路。 A为高电平，T1导通，Y为低电平；A为低电平，T1截止，Y为高电平。 2、与门（and） 与门电路用来实现与逻辑运算。 与门电路是指只有在一件事情的所有条件都具备时，事情才会发生。 ABY000010100111用2个NPN三极管搭建与门； A和B都为高电平时，T2和T3都导通，此时Y为高电平。 3、或门（or） 或门电路用来实现或逻辑运算。 或门电路是指只要有一个条件满足，事情就会发生。 ABY000011101111用2个NPN三极管搭建或门； A或B只要有一个是高电平时，T4或T5就导通，此时Y为高电平。 其他的异或门（xor）、与非门、或非门、异或非门（同或门）都可以使用上面3种组合而成，这里就不具体介绍了。 为了方便画图，把门电路符号化。 四、如何实现算术运算呢？ 现在我们有了基本逻辑运算电路，可以实现逻辑运算，那么该如何实现算术运算呢？也就是如何把二进制算术运算转换成逻辑运算？ 算术运算包括加减乘除。 （一）我们先讲加法。 如何把加法表达式转化成逻辑表达式？ 下面就是A+B的示意图。 Cin是输入进位，Cout是输出进位，Sum是和。 这些符号都表示一个二进制数，要么是1，要么是0。 因为10和真假可以相互转化，所以可以把A+B+Cin转换成以下的逻辑表达式： Sum=A xor B xor Cin Cout=(A and B) or (Cin and (A xor B)) 然后根据逻辑表达式，制作逻辑电路。 上面这个电路就叫做全加器。 为了方便画图，我们把全加器也符号化。 因为这个全加器只能计算1位二进制，而我们要计算的数通常是32位的，所以我们需要32个全加器，连起来。这就构成了三十二位加法器。下图是五位加法器，仅为了举例，因为32位太难画了。 我们把输入与拨码开关相连，就能手动输入数字了；把输出与灯泡相连，就能看到输出结果了。 有了加法器，我们把十进制数转化成二进制，然后手动给A和B输入二进制，比如A是12=01100，B是10=01010，然后一瞬间，我们就得到Sum的值是10110=22。 但是，当给A输入31=11111，B也输入31=11111，那么得到的Sum是11110=30，结果怎么不对？没错，结果就应该不对，因为加法器是5位的，能表示的最大值是2^5-1=31，而31+31=62>31。这就是产生进位了，也叫做溢出。这是输入和输出的二进制位数相同必然导致的结果。那么我要计算31+31怎么办？解决方法有两个：1、增加加法器的位数，比如5位变成6位，6位二进制最大值是63，而31+31=62<63，这样就能表示62了。2、你只能限制加数的大小，保证两个数的和小于32，比如可以计算10+10，但是就是不能计算31+31，没办法，这是计算机运算的局限性。 为了画图方便，把加法器也符号化。 （二）减法怎么实现呢？ 1、负数怎么表示？ 在做减法时，结果可能是负数。但是，运算电路的输入输出都是二进制1和0，它并不区分正负数，或者说它总是把二进制当成正数。 既然它总是把二进制当成正数，那么我们如何表示负数？比如1-4=-3，这个-3怎么表示？ 答案就是，我们人为规定了一套用二进制表示负数的规则。这个规则就是，使用一个数的补码表示这个数的负数。 规定：-x的二进制就是x的二进制的补码。 两个二进制互为补码，当且仅当，两个二进制的和是2w。w是二进制位数。 在数学上两个二进制的和是2w，但是因为计算机实际运算时加数与和的二进制位数是相同的，所以最高位的进位会舍弃，这样就只剩下w个0了，就变成互为补码的两个二进制的和实际上为0。 比如，1111 1111 + 0000 0001 = （1）0000 0000，所以1111 1111 和 0000 0001就互为补码。 因为二进制位数固定相同，最高位的进位会舍弃，所以相当于两个的和是0。 2、减法怎么做？ 这样规定之后，就能用二进制表示负数了。那么减法怎么做？ 减一个数就变成加这个数的补码了，也就是A-B=A+(-B)=A+B补。减法实际上就变成取补运算了。这样就能复用加法器了。 求x的补码，就是用2w - x。注意取补的过程是人做的，不是加法器做的，人把手动求出的补码输入加法器，加法器再把补码相加，这样就能得到结果了。 比如5-1，实际上就是5+(-1)，-1的二进制是1的二进制的补码，也就是2w-1。我们把5的二进制和-1的二进制分别输入加法器，就能计算出结果了。 下面我们看几个减法运算的例子，体会一下减法运算的正确性。 比如，-1-3 = -4，实际上就是(-1)+(-3)=-4。如果能证明-1的二进制与-3的二进制的和就是-4的二进制，是不是就证明了计算的正确性？ 根据规定，-1的二进制就是1的补码，为2w-1。-3的二进制就是3的补码，为2w - 3。-4的二进制就是4的补码，为2w - 4。如果能证明(2w-1) + (2w - 3) = 2w - 4，那么就证明了计算的正确性。 证明： (2w-1) + (2w - 3) = 2w+2w - 4，因为实际运算时二进制位数固定，最高进位要舍弃，所以结果要取余。 2w + 2w - 4 mod 2w = 2w - 4，取余之后正好是-4的二进制，所以-1的二进制与-3的二进制的和就是-4的二进制。 那么减法电路就是下面的样子，其实就是复用的加法器： A-B=A+B补，复用上面的加法器。就是手动给A设置-1=11111，给B设置-3=11101，然后一瞬间，得到Sum的值是11100=-4。 同理下面几个例子也是正确的。 -3 + 1 = -2，(2w - 3) + 1 = 2w - 2，也是正确的。 3 + -1 = 2，3 + (2w - 1) = 2w + 2 mod 2w = 2，也是正确的。 -2 + 2 = 0，(2w - 2) + 2 = 2w mod 2w = 0，也是正确的。 可见用补码来表示负数，从而实现减法是正确的。 3、一个二进制到底表示负数还是正数？ 自从我们人为规定了负数的表示方法，就出现了一个棘手的问题。那就是一个二进制可以有两种解释，既可以当作正数，又可以当作负数，那么一个二进制到底表示负数还是正数？比如8位二进制1011 0110。它相当于十进制的多少？ 这个时候就又出现了一个规定，规定：二进制有两种解释方法，一种是把它看作有符号的，另一种是把它看作无符号的。当看作无符号时，二进制应该当成正数，表示范围是0 ~ 2w-1。当看作有符号时，以0开头的二进制应该当成正数，以1开头的二进制应该当成负数，表示的范围是-2(w-1) ~ 2(w-1)-1。 这样规定之后，再回答“8位二进制为10110110。它相当于十进制的多少？”，你必须先问，把它看作有符号数还是无符号数？如果是有符号的，它就是负数-74。如果是无符号的，它就是正数182。 当然无论是把二进制看作有符号的，还是看作无符号的，计算机在运算时都是按照同一套方法计算，运算电路是无法区分符号的，区分符号是人做的，把二进制解释成十进制也是人做的，不是运算电路做的。这就是二进制的麻烦之处，它们只是一些0和1，本身并没有任何含义，含义取决于你如何看待它，选择何种解释方式。 比如，下面的运算就有两种解释方式： 一种解释是把二进制看成无符号的，那么加法器的输入输出就是A=31，B=29，Sum=28。 另一种解释是把二进制看成有符号的，那么加法器的输入输出就是A=-1，B=-3，Sum=-4。 这两种解释的运算流程完全一样，内部的二进制完全一样。记住，运算电路根本不区分符号，区分符号是人做的。 注意，把二进制看作无符号时，是把所有二进制都看作无符号的，看作有符号时也是一样，不能两者混合。 （三）取补运算 上面做减法时，取补是人手动做的，那能不能让计算机自动做呢？答案是能。 这时要用到一个定理，就是：一个二进制的补码=这个二进制的反码+1。 比如，位数w=4，1的二进制是0001，1的补码是24-1，二进制是1111。而1的二进制的反码是1110，加1之后正好等于1111。 下面我们证明一下这个定理： 反码，就是把二进制的每一位取反，1变成0，0变成1。 那么，x+x反=1…1（w个1）=2w-1 结合x+x补=2w，两个公式相减得到 x反-x补=-1，也就是x补=x反+1。 证毕。 下面是取补码的电路图 为了求1的补码，给A输入00001，B固定是0，Cin固定是1，那么一瞬间得到Sum=11111，也就是00001的补码。 有了取补码的电路，那么减法的电路就改进成下面的样子： 为了计算1-3，给A输入1=00001，给B输入3=00011，C固定为0，D固定为1，那么一瞬间得到最终结果11110=-2。 五、如何选择运算类型？ 上面我们讲了如何制作加法和减法电路，它们是独立的两套电路，但是它们有重复的部分，总感觉有些浪费，能不能把两套电路合并成一套电路呢？答案是能。 但合并之后，出现一个问题，那就是如何选择运算类型，做加法还是做减法，我们如何控制？这就需要添加额外的电路，这种电路的功能就是控制做何种运算，就叫做控制电路。 下面就是合并之后的算术运算电路： 增加了一个输入F，用来控制做加法还是减法。 当F=0时，B的每一位与0异或，得到的还是B。加法器的Cin为0。此时就是做A+B。 当F=1时，B的每一位与1异或，得到B反。加法器的Cin为1。此时就是做A+B反+1=A+B补=A-B。